Fakultätsrechner

Fakultätsrechner – Berechne n! mit Schritten

🔢 Berechne die Fakultät (n!) für jede Zahl von 0 bis 170. Sieh dir die Schritt-für-Schritt-Aufschlüsselung, Permutationen, Kombinationen und Anwendungen aus der Praxis an.

Was ist eine Fakultät?

Die Fakultät einer nichtnegativen ganzen Zahl n, bezeichnet als n!, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen, die kleiner oder gleich n sind. Sie entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, n verschiedene Objekte anzuordnen.

Fakultätsformel

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

• 0! = 1 (per Definition)
• 1! = 1
• n! = n × (n-1)! (rekursive Definition)

Beispiele

• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3.628.800
• 0! = 1 (Sonderfall)
• 20! = 2.432.902.008.176.640.000

Warum ist 0! = 1?

Es gibt genau eine Möglichkeit, null Objekte anzuordnen: die leere Anordnung. Diese Definition sorgt dafür, dass mathematische Formeln (insbesondere in der Kombinatorik) konsistent funktionieren. Außerdem passt sie zur rekursiven Formel: n! = n × (n-1)!, denn aus 1! = 1 × 0! folgt, dass 0! gleich 1 sein muss.

Permutationen

P(n,r) = n!/(n-r)!

Anzahl der Möglichkeiten, r Objekte aus n verschiedenen Objekten anzuordnen, wobei die Reihenfolge zählt.

• Beispiel: P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60
• Anwendung: Podiumsplätze in einem Rennen (1., 2., 3.)

Kombinationen

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)

Anzahl der Möglichkeiten, r Objekte aus n verschiedenen Objekten auszuwählen, wobei die Reihenfolge egal ist.

• Beispiel: C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/(6×2) = 10
• Anwendung: Lottozahlen, Komiteewahl

Endnullen in n!

Endnullen entstehen durch Faktoren von 10 = 2 × 5. Da es immer mehr Zweier- als Fünferfaktoren gibt, zählt man nur die Fünfer:

Nullen = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...

• 10! hat 2 Endnullen
• 25! hat 6 Endnullen
• 100! hat 24 Endnullen

Anwendungen in der Praxis

• Kryptografie: Anzahl möglicher Schlüssel
• Planung: Anordnungen von Terminen, Aufgaben, Events
• Genetik: mögliche DNA-/Protein-Sequenzen
• Wahrscheinlichkeit: Quoten in Spielen und Lotterien
• Informatik: Analyse der Algorithmuskomplexität
• Fertigung: Anordnung von Produktionslinien
• Logistik: Routenoptimierungsprobleme

Bekannte Fakultätswerte

• 52! ≈ 8.07 × 10⁶⁷ (Kartendeck-Mischungen)
• 70! ≈ 1.2 × 10¹⁰⁰ (übertrifft Atome im Universum ≈ 10⁸⁰)
• 100! ≈ 9.3 × 10¹⁵⁷ (158 Ziffern!)
• 170! ≈ 7.3 × 10³⁰⁶ (JavaScript-Maximum)

Stirlingsche Approximation

Für große n ist die exakte Berechnung unpraktisch. Die Stirlingsche Näherung lautet:

n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ

Diese Näherung wird mit wachsendem n genauer. Für n = 10 liegt der Fehler unter 1%.

Wachstumsvergleich

Fakultäten wachsen viel schneller als exponentielle oder polynomische Funktionen:

• Polynom: n² = 100 für n=10
• Exponentiell: 2ⁿ = 1.024 für n=10
• Fakultät: n! = 3.628.800 für n=10

Doppelfakultät

Die Doppelfakultät (n!!) multipliziert jede zweite Zahl:

• n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 2 oder 1
• 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105
• 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384

Subfakultät (Derangements)

Die Subfakultät !n zählt Permutationen, bei denen kein Element an seiner ursprünglichen Position bleibt:

!n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)ⁿ/n!)

Beispiel: !3 = 2 (Anordnungen von ABC ohne Fixpunkt: BCA, CAB)

Programmierung

Iterativer Ansatz:

function factorial(n) {
    let result = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        result *= i;
    }
    return result;
}
            

Rekursiver Ansatz:

function factorial(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}
            

💡 Tipp: Beim Berechnen von Permutationen oder Kombinationen solltest du gemeinsame Faktoren vor dem Rechnen kürzen, um Overflow zu vermeiden. Für C(100,2) = 100!/(2!×98!) berechne z. B. (100×99)/2 = 4.950 statt die riesigen Fakultäten separat zu berechnen!